Banyaknya faktor dari 4200 yang merupakan bilangan ganjil positif adalah ……..

Jawaban

faktor kan bilangan 4200 menjadi bentuk pangkat prima

> 4200/2 = 2100
> 2100/2 = 1050
> 1050/2 = 525
> 525/3 = 175
> 175/5 = 35
> 35/5 = 7

sehingga,

> 4200 = 2^3 x 3 x 5^2 x 7   (1)

dari faktor pangkat prima tersebut, kita bisa menghitung jumlah banyaknya faktor dari 4200 yang merupakan bilangan ganjil positif dengan cara berikut

faktor

2^a x 3^b x 5^c x 7^d

untuk mendapatkan nilai faktor yang ganjil, maka kita tidak boleh melibatkan bilangan prima dua, sehingga nilai a hanya ada 1 kemungkinan yaitu 0.

sedangkan nilai b, c, d memiliki kemungkinan nilai yang dipilih 0, 1, 2, dst hingga nilai maksimum sesuai dengan nilai faktor pangkat prima pada persamaan (1)

maka dari itu, masing-masing kemungkinan nilai b, c, dan d adalah sebagai berikut

b={0,1} banyaknya 2 kemungkinan
c={0,1,2} banyaknya 3 kemungkinan
d={0,1} banyaknya 2 kemungkinan

Pada akhirnya, banyaknya kemungkinan nilai faktor yang merupakan bilangan ganjil adalah perkalian dari banyaknya kemungkinan semua komponen.

1 x 2 x 3 x 2 = 12 faktor

Semua pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi x^2 + y^2 = 2x - 4y - 5 adalah ....

Jawaban

sederhanakan persamaan tersebut menjadi bentuk persamaan lingkaran

> (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

persamaan tersebut adalah persamaan lingkaran yang berpusat (a,b) dan memiliki jari-jari r.

> x^2 + y^2 = 2x - 4y - 5
> x^2 - 2x + y^2 + 4y = -5
> (x-1)^2 -1 + (y+2)^2 -4 = -5
> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 0

oleh karena r = 0, maka itu persamaan tersebut adalah persamaan titik sehingga hanya memiliki satu solusi, yakni di titik (1,-2)

Semua bilangan bulat x sehingga 1/[2+√x] +1/[2-√x] merupakan bilangan bulat adalah .......

Jawaban

Sederhanakan persamaan tersebut

> 1/[2+√x] +1/[2-√x]
= [2-√x]/([[2+√x][2-√x]) + [2+√x]/([[2+√x][2-√x])
= ([2-√x] +  [2+√x])/(4-x)
= 4/(4-x)

agar nilai 4/(4-x) bulat, maka

> 4/(4-x) = k

untuk mendapatkan nilai k yang bulat, maka (4-x) harus faktor dari bilangan 4, yakni antara 1,2, dan 4

> 4-x = 1
> x = 4-1 = 3

> 4-x = 2
> x = 4-2 = 2

> 4-x = 4
> x = 4-4 = 0

Jadi, semua bilangan bulat x sehingga 1/[2+√x] +1/[2-√x] merupakan bilangan bulat adalah 0, 2, dan 3

Jika jumlah dua bilangan adalah 3 dan selisih kuadrat bilangan itu adalah 6, maka hasil kali kedua bilangan itu adalah .......

a. 4
b. 2
c. √2
d. ½ √2
e. Jawaban A,B,C, dan D tidak ada yang benar.

Jawaban

Persoalan ini bisa diselesaikan dengan prinsip kesebangunan segitiga.

Perhatikan segitiga ABE dan segitiga CAD, karena BE dan CD sejajar serta sudut ABE dan sudut CAD berhimpit, maka dapat disimpulkan bahwa segitiga ABE dan segitiga CAD sebangun.

Sehingga, bisa didapatkan hubungan kesebangunan sebagai berikut

> BE/CD = tinggi segitiga ABE/tinggi segitiga CAD

dan dari pernyataan luas BCDE = luas ABE, maka didapatkan

> luas CAD = luas ABE + luas BCDE = luas ABE + luas ABE = 2 x luas ABE
> luas CAD/luas ABE = 2
> [CD x tinggi segitiga CAD /2]/[BE x tinggi segitiga ABE /2]= 2
> [CD/BE] x [tinggi segitiga CAD/tinggi segitiga ABE] = 2
> [CD/BE] x [CD/BE] = 2
> [CD/BE]^2 = 2
> CD/BE = √2
> BE = CD / √2
> BE = 8 / √2 = 4 √2

Bentuk sederhana dari (y + x){(x - y)[x(x - y) + y(y + x)]} adalah .......
a. x4 + y4
b. x4 - y4
c. y4 - x4
d. (x4 +y4)
e. Jawaban A,B,C, dan D tidak ada yang benar.

Jawaban

(y + x){(x - y)[x(x - y) + y(y + x)]}
= (y + x){(x - y)[x^2 - yx + y^2 + xy]}
= (y + x){(x - y)[x^2 + y^2]}
= (xy + x^2 -y^2 - xy) (x^2 + y^2)
= (x^2 -y^2) (x^2 + y^2)
= x^4 + x^2y^2 - x^2y^2 - y^4
= x^4 - y^4

Pada segitiga PQR, S adalah titik tengah QP dan T titik tengah QR. Perbandingan antara TS dan
PR adalah .......

a. 1:2
b. 1:3
c. 2:3
d. 3:4
e. 3:5

Jawaban

Berdasarkan pernyataan, Pada segitiga PQR, S adalah titik tengah QP dan T titik tengah QR, maka pernyataan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
karena S adalah titik tengah dari garis PQ, dan T adalah titik tengah QR, maka

> SQ = 1/2 PQ
> QT = 1/2 QR

dan karena sudut SQT = sudut PQR, maka segitiga STQ sebangun dengan segitiga PQR.

dan berdasarkan prinsip kesebangunan segitiga

> TS/PR = SQ/PQ = QT/QR = 1/2

Suatu garis lurus memotong sumbu X di titik A(a,0) dan memotong sumbu Y di titik B(0,b)
dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika luas segitiga OAB adalah 12 satuan luas, maka
banyaknya pasangan bilangan bulat a dan b yang mungkin adalah........

a. 4 pasang
b. 8 pasang
c. 16 pasang
d. 32 pasang
e. 48 pasang

Jawaban

rumus luas segitiga adalah

> L = 1/2 x alas x tinggi

dimana,

> alas = a
> tinggi = b

Berdasarkan pernyataan luas segitiga OAB adalah 12 satuan luas, didapatkan

> 1/2 x a x b = 12
> a x b = 24    (1)

Dan berdasarkan pernyataan a dan b adalah bilangan bulat, maka nilai a dan b adalah faktor dari bilangan 24.

(a x b) = {(1 x 24), (2 x 12), (3 x 8), (4 x 6), (6 x 4), (8 x 3), (12 x 2), (24 x 1)}

oleh karena itu, banyaknya kemungkinan pasangan a dan b adalah 8