Bilangan asli n sedemikian sehingga hasil kali

(1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)...(1+1/n)

merupakan bilangan bulat adalah .......

a. n ganjil

b. n genap

c. n kelipatan 3

d. n sebarang

e. tidak ada n yang memenuhi

Jawaban

pertama, kita samakan penyebut pada setiap penjumlahan

> (1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)...(1+1/n) = (3/2)(4/3)(5/4)...([n+1]/n)

perkalian tersebut membentuk pola dimana pembilang pada suku pertama bisa dieliminasi dengan penyebut pada suku berikutnya

> (3/2)(4/3)(5/4)...(n/[n-1])([n+1]/n) = [n+1]/2

agar [n+1]/2 menjadi bilangan bulat, maka

> [n+1]/2 = k

> n+1 = 2k

> n = 2k -1

dengan nilai k bilangan bulat

> k = {1,2,3,4, ...}

maka didapatkan nilai n

> n = {2 x 1 - 1, 2 x 2 -1, 2 x 3 -1, 2 x 4 -1, ...}

> n = {1, 3, 5, 7, ...}

jadi, nilai n yang memenuhi syarat tersebut adalah bilangan ganjil